16 Paradoxos que farão a sua cabeça andar à roda

Se parar para pensar, reparará que estamos rodeados de enigmas impossíveis de resolver. Compilámos uma lista de 16 paradoxos que certamente o vão confundir. Ou iluminar.

“Uma coisa eu sei,” a famosa frase de Sócrates: “é que nada sei.” Esta afirmação é um paradoxo nela mesma, demonstrando as complexidades das afirmações que onde o orador se auto referencia, mas também sugere uma perspicácia crucial de um dos fundadores da filosofia ocidental: devemos questionar tudo o que sabemos. De facto, quanto mais perto ser observa, mais paradoxos se podem encontrar à nossa volta.

Vocês já sabem que nada sabem? Então, aqui estão mais 15 frases que podem lhes parecer absolutamente absurdas.

O paradoxo da dicotomia foi atribuído ao filósofo Zeno, da Grécia Antiga, e foi supostamente e criado como prova de que o universo é singular e de que as mudanças, incluindo a movimentação, são impossíveis (como explicado pelo professor de Zeno, Parmenides).

As pessoas têm rejeitado intuitivamente este paradoxo há anos.

Da perspectiva matemática, a solução – formalizada no século XIX – é aceitar que uma metade, mais um quarto, mais um oitavo, mais um sexto, etc… dá o resultado de 1. Esta ideia é similar à situação que diz que 0,999… é igual a 1.

Asolução desta pergunta é mais complexa e ainda um pouco obscura, tendo como base as teorias do século XX que dizem que a matéria, tempo, e espaço não são infinitamente divisíveis.

A isto é chamado o paradoxo de flecha, e é outro dos argumentos de Zeno contra o movimento. A questão aqui é que num instante de tempo, passam zero segundos, por isso não há movimento também. Zeno argumentou que se o tempo era feito de instantes, o facto de que o movimento não acontece em nenhum dos instantes queria dizer que o movimento não acontecia.

Como no paradoxo da dicotomia, o paradoxo de flecha dá uma luz ao entendimento moderno da mecânica quântica. No seu livro “Reflexões sobre Relatividade”, Kevin Brown diz que no contexto da relatividade especial, um objeto em movimento é diferente de um objeto em descanso. A relatividade requer que objetos que se movam a diferentes velocidades tenham uma aparência exterior diferente e assim têm eles mesmos diferentes percepções do mundo à sua volta.

Outro clássico da Grécia Antiga, o paradoxo do navio de Teseu refere-se às contradições de identidade. Este foi famosamente descrito por Plutarco:

"O navio onde Teseu e a juventude de Atenas voltaram de Creta tinha trinta remos, e foi preservado pelos atenienses até mesmo ao tempo de Demétrio de Faleros porque eles tiraram as tábuas de madeira velhas à medida que estas iam apodrecendo e puseram novas e mais fortes em seu lugar, tanto que o navio se tornou um exemplo entre filósofos das questões lógicas das coisas que crescem; um lado do navio permaneceu o mesmo, e o outro sustentando que não era o mesmo."

Enquanto falamos nisso, como pode o mal existir se Deus é omnipotente? E como pode a livre vontade existir se Deus é omnisciente?

Estes são alguns dos paradoxos que existem quando se aplica lógica às definições de Deus.

Algumas pessoas poderão citar estes paradoxos como razões para não acreditar num ser supremo; contudo, outros dirão que estes são inconsequentes ou inválidos por alguma razão.

Avançando para um problema posto no século XVII, temos um dos muitos paradoxos relacionados com o infinito e a geometria.

O “Corno de Gabriel” é formado rodando a curva y= 1/x à volta de um eixo horizontal, como demonstrado na imagem. Usando técnicas de calculo que tornam possível calcular áreas e volumes de formas criadas assim, é possível ver que o corno infinitamente longo, tem na verdade um volume finito de π, mas uma area de superfície infinita.

Como aparece no artigo sobre o corno do Math World, isto quer dizer que o corno pode ter um volume finito de tinta mas para isso seria necessária uma quantidade infinita de tinta para pintar a sua superfície inteira.

Este é um dos muitos paradoxos que se auto-referencia, que manteve de acordados muitos matemáticos e lógicos modernos.

Um exemplo de uma palavra heterológica é “verbo”, que não é um verbo (por oposição a “nome”, que é ele mesmo um nome). Outro exemplo é “longo”, que não é uma palavra longa (por oposição a “curto” que é uma palavra curta).

Por isso é “heterológico” uma palavra heterológica? Se fosse uma palavra que não se descrevia a ela mesma, então estaria a descrever-se a ela mesma; mas se de fato se descrever a ela mesma, então não seria uma palavra que se descreveria a ela mesma.

Isto está relacionado com o paradoxo de Russell, que pergunta se o grupo de coisas que não se contém a elas mesmas, as contém. Ao criar conjuntos autodestrutivos como estes, Bertrand Russell e outros mostraram a importância de estabelecer regras cuidadosas ao criar conjuntos, o que iria ser as fundações da matemática do século XX.

“Catch-22”, um romance satírico da Segunda Guerra Mundial, de Joseph Heller, nomeia a situação onde alguém precisa de algo que só pode ser obtido não tendo essa necessidade – o que é uma espécie de paradoxo auto referencial. O protagonista Yossarian é apresentado ao paradoxo no que toca à avaliação do piloto, mas eventualmente encontra leis que são paradoxais (e opressivas) em todo o lado.

Afinal de contas, 1 é o primeiro número natural que não é zero; 2 é o número primo mais pequeno; 3 é o primeiro número primo ímpar; 4 é o número composto mais pequeno; etc. E quando parecemos chegar a um número que aparentemente não tem nada de interessante, então o número é interessante por ser o primeiro número a não ser interessante.

O paradoxo do número interessante baseia-se numa definição imprecisa de “interessante”, tornando-o, de certa forma, uma versão mais pateta de outros paradoxos, como o paradoxo heterológico ou o de Russell, que se baseiam em auto referencias contraditórias.

Nathaniel Johnston, investigador em computação quântica, descobriu uma resolução para este paradoxo: Em vez de estar dependente da noção intuitiva de “interessante” como no paradoxo original, ele definiu um número inteiro interessante como um que apareça algures na Enciclopédia online de Sequencias Integer, uma coleção de milhares de sequências matemáticas como os números primos, os números de Fibonacci, ou os triplos pitagóricos.

Baseado nesta definição, como na primeira entrada do blog de Johnston em Junho de 2009, o primeiro número desinteressante – o mais pequeno numero inteiro que não aparece em nenhuma das sequências – era 11 630. Desde então foram adicionadas novas sequências, algumas incluem números previamente desinteressantes, como descrito na mais recente publicação sobre o assunto de Johnston, em Novembro de 2013, o presente numero mais pequeno e desinteressante é 14 228.

As afirmações condicionais na lógica formal às vezes têm interpretações contra-intuitivas, e o paradoxo da bebida é um grande exemplo.

Na primeira observação, o paradoxo sugere que uma pessoa está a causar que todas as outras bebam.

Mas de fato, tudo o que afirma é que seria impossível para toda a gente no bar estar a beber a não ser que toda e qualquer pessoa estivesse realmente a beber. Sendo assim, existe pelo menos um cliente (diga-se o ultimo cliente a não beber) que ao beber faz com que toda a gente no bar esteja a beber.

O paradoxo Banarch-Tarski está fundamentado em muitas das estranhas e contra-intuitivas propriedades de conjuntos infinitos e rotações geométricas.

As partes em que a bola é cortada têm uma aparência muito estranha, e o paradoxo só funciona para uma esfera abstrata e matemática: por mais satisfatório que fosse ter uma maçã, corta-la, e remontar as partes de forma a obter um bocadinho de maçã extra para o nosso amigo, as bolas físicas feitas de matéria não podem ser separadas como uma esfera puramente matemática.

Mesmo a trabalhar com quantias finitas tradicionais, a matemática pode resultar em soluções estranhas.

A chave do paradoxo da batata é olhar atentamente para a matemática por de trás do conteúdo da batata que não é água. Uma vez que a batata é 99% água, os componentes secos são 1% da sua massa. A batata começa com 100 gramas, o que quer dizer que contém 1 grama de material seco. Quando a batata é 98% de água depois de seca, esse 1 gr de material seco precisa de valer por 2% do peso da batata. Um grama são 2% de 50 gramas, por isso esse é o novo peso da batata.

Outro resultado matemático surpreendente, o paradoxo do aniversário vem de uma análise detalhada das probabilidades envolvidas. Se duas pessoas estão juntas num quarto, então existe a probabilidade de 364 de um todo de 365 de elas não terem o mesmo aniversário (se ignorarmos os anos bissextos e assumirmos que todos os aniversários são iguais), porque existem 364 dias que são diferentes do dia de aniversário da primeira pessoa podem então ser o aniversário da segunda.

Se existem três pessoas no quarto, então a probabilidade que todos tenham aniversários em dias diferentes é 364/365 x 363/365: como em cima, uma vez que sabes o dia de aniversário da primeira pessoa, sobram 364 escolhas de diferentes dias para a segunda pessoa, e isto deixa-nos com 363 dias para o aniversário da terceira que são diferentes dos outros dois.

Continuando da mesma forma, quando se chegar a 23 pessoas, a probabilidade de que todos tenham dias de aniversário diferentes cai para menos de 50%, por isso a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo aniversario é de mais de 50%.

Isto parece impossível mas é verdade quando consideramos a matemática.

O paradoxo da amizade é causado por a maioria das pessoas, na maioria das redes sociais, terem alguns amigos, enquanto uma mão cheia de pessoas tem um grande número de amigos. Estas borboletas sociais no segundo grupo aparecem, desproporcionalmente, como amigos das pessoas com menos amigos, e aumentam a média do número de amigos de amigos.

Viajar no tempo, se possível, podia resultar em algumas situações extremamente estranhas.

O paradoxo de “bootstrap” (entenda-se utilização de recursos próprios disponíveis em vez de ajuda externa) é o oposto do clássico paradoxo do avô: Em vez de voltar atrás no tempo e impedirmos o eu do passado a voltar atrás no tempo, alguma informação ou objeto é trazido de volta no tempo, tornando-se a versão mais “nova” desse objeto, e permitindo ao objeto viajar no tempo mais tarde. Temos então de perguntar: Como é que a informação ou objeto existiram na sua primeira instância?

Este paradoxo é comum na ficção científica e toma o nome um conto de Robert Heinlein. Mais recentemente, apareceu no filme Interestelar.

Finalmente, há quem veja o silêncio do nosso universo como um paradoxo.

Uma das assunções subjacentes na astronomia é que a Terra é um planeta bastante comum, num sistema solar bastante comum, numa galáxia bastante comum, e que não há nada cosmicamente único em nós. O satélite da NASA – Kepler – encontrou provas de que há provavelmente 11 mil milhões de planetas parecidos com a Terra na nossa galáxia. Sabendo isto, uma forma de vida parecida com a nossa devia ter evoluído algures, não muito longe de nós (pelo menos numa escala cósmica).

Mas apesar de desenvolvermos cada vez mais potentes telescópios, nós não temos nenhuma prova da existência de civilizações tecnológicas em mais sítio nenhum do nosso universo. As civilizações dão barulhentas: a humanidade transmite sinais de TV e rádio que são indubitavelmente artificiais. Uma civilização como a nossa devia deixar um rasto de provas que nós poderíamos encontrar.

Além disso, uma civilização que evoluiu milhões de anos (bastante recente numa perspetiva cósmica) teria muito tempo para começar a, pelo menos, colonizar a galáxia, o que quer dizer que devia haver mais evidências da sua existência. De fato, dado tempo suficiente, uma civilização colonizadora seria capaz de colonizar uma galáxia inteira do curso de milhões de anos.

O físico Enrico Fermi, que deu o nome ao paradoxo, perguntou simplesmente, “onde estão eles?” no meio de uma discussão de hora de almoço com os seus colegas. Uma resolução do paradoxo põe à prova a ideia inicial de que a Terra é comum e em vez disso declara que formas de vida complexas são extremamente raras no universo. Outra afirma que civilizações tecnológicas destroem-se inevitavelmente, através de guerras nucleares ou devastação ecológica.

Uma visão mais otimista é a ideia de que os alienígenas estão a esconder-se de nós intencionalmente até nós nos tornarmos mais maduros social e tecnologicamente. Ainda outra ideia é que a tecnologia alien é tão avançada que nós nem a conseguimos reconhecer.